Conjuntos numéricos

Notación y expresión de conjuntos.
El concepto de conjunto es indefinible, su noción es intuitiva, y se atribuye a toda colección de entes que está bien definida y por tanto se identifican de manera precisa.

Para los fines de este texto se considera un conjunto numérico como una “agrupación” de entes (números) con ciertas características que permiten identificarlos. Los conjuntos pueden expresarse al menos de tres maneras diferentes:
1. Por descripción verbal.
2. Por enumeración de lista.
3. A través de notación de construcción de conjuntos.

Ejemplo 1. tres maneras de expresar un conjunto.
1. El conjunto de las vocales del Español
2. \(A=\left\{a,e,\ i,o,u\right\}\)
3. \(A=\{x|x ~\mathrm{es ~una ~vocal ~del ~Español}\}.\)
La expresión \(x|x\) se lee “equis tal que equis”.

Por lo general los conjuntos se representa por una letra mayúscula escribiendo entre llaves sus elementos con minúsculas (enumeración de lista), como en \(A=\left\{a,e,\ i,o,u\right\}\)

Los conjuntos pueden tener un número limitado de elementos (ser finitos), como el conjunto de los días de la semana o pueden tener un número ilimitado de elementos (ser infinitos), como algunos conjuntos de números que por lo general no tienen final.

Algunos conjuntos finitos pueden ser finitos no contable (tiene un final, pero son imposible de contar) como el conjunto de los granos de arena en una playa. Otros conjuntos como “el conjunto de todos los cuerpos que forman el cosmos” no pueden ser etiquetados como finitos no contables ya que en realidad no se sabe si tienen final, así que de estos conjuntos se dice que son indeterminados.

   Notación de pertenencia.
Sobre un número cualquiera y un conjunto A se puede decir una de dos cosas:
\(1.~~k\in A\) (k pertenece a A)
\(2.~~k\notin A\) (k no pertenece a A)
Por ejemplo, si \(A\) representa al conjunto de los jugadores de un equipo de beisbol, se puede decir que Lebron James no pernece a este equipo y se escribe Lebron James \(\notin A\), en cambio si se desea escribir que pertenece a los Lakers de Los Angeles \((L)\), se puede escribir Lebron James \(\in L\)

Se dice que un conjunto numérico es una "agrupación" de números con ciertas características que permiten identificarlos.

Se sabe que la aritmética, estudia los números y las operaciones hechas con ellos considera dos tipos (conjuntos) de números los números primos (números enteros \(p\) mayores que uno, cuyos únicos divisores positivos son el uno y el mismo número \(p\) y los números compuestos (todos los que no son primos).

Por ejemplo, se puede afirmar que siete es un numero primo, porque los únicos divisores de siete son el número uno y el mismo siete, mientras que quince no lo es, ya que quince se puede dividir además de quince y uno, entre cinco o entre tres. Denotando el conjunto de los primos como \(P\) se tiene, $$P=\{2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,...\}$$ Si se expresa, sea \(P\) el conjunto de los números primos entonces sobre los elementos siete y 15 se puede expresar que \(7\in P\ \land\ 15\ \notin P.\)

Además del conjunto de los números primos y los compuestos en matemáticas se consideran otros tipos de conjuntos numéricos, por ejemplo el conjunto de los números pares (se dice que un número es par si es diviible entre dos), el conjunto de los números impares (los que no son divisibles entre dos) y muchos otros más. Por ejemplo, si \(A\) representa al conjunto de los números pares, se puede escribir, \(6\in A\) (seis pertenece a A) y \(7\notin A\) (siete no pertenece a \(A\)).

Sin embargo, la expresión conjuntos numéricos hace referencia a un pequeño grupo de conjuntos los cuales sirven de referecia para el trabajo aritmetico con las operaciones básicas sin considerar que sean primos o no. Dichos conjuntos se presentan a continuación.

   Números naturales \(\mathbb{N}\).

El conjunto de los números naturales \(\mathbb{N}\) es el conjunto formado por los números utilizados para contar o representar el orden de las cosas y es el único conjunto numérico que tiene un comienzo. $$\mathbb{N}=\left\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ \ldots\right\}$$ Se denominan números naturales por ser los números que de manera natural un niño usa para contar.

    Conjunto de los números enteros \(\mathbb{Z}\).

Con los números naturales era imposible representar la inexistencia de algo ¿cómo representar qué no se tiene algo? Mediante el uso del “cero” se pudo resolver este problema, pero había aun un problema ¿cómo representar deudas o pérdidas? Para esto se hizo necesario ampliar el conjunto de los números naturales, así se estableció el uso de “números negativos” los cuales representaban que se debía una cantidad inversa al que el número representaba. Así que los números enteros \(\mathbb{Z}\) son la unión del conjunto de los números naturales, el cero y los inversos de los naturales. No existe un primer número entero, ni un último, de donde se tiene que:
$$\mathbb{Z}=\{\ldots,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,\ldots\}$$

   Conjunto de los Racionales \(\mathbb{Q}\).

El conjunto de los números racionales \(\mathbb{Q}\) es el conjunto de todos los números que se pueden expresar como el cociente de dos enteros (resultado de una división). Contiene a los enteros \(\mathbb{Z}\) y por tanto, a los naturales \(\mathbb{N}\).

   Conjunto de los números irracionales \(\mathbb{Q'}\).

El conjunto de los números irracionales \(\mathbb{Q'}\) (cu prima) es el conjunto de los números que no pueden ser expresados como el cociente de dos enteros.
El número irracional más conocido es el número \(\pi\), además de este, otros dos números irracionales muy conocidos son el número de Euler (número \(e\)) y la famosa razón de oro representada por \(\Phi\) (phi). Dentro de \(\mathbb{Q'}\) están todas las raíces de todos los números primos.

   Conjunto de los números reales \(\mathbb{R}\).

El conjunto de los números reales \(\mathbb{R}\) es un "superconjunto" que contiene a todos los conjuntos anteriores mencionados. Se representan geométricamente como una recta en la cual se pueden marcar todos los números conocidos como un punto. Poseen la propiedad de complitud o densidad (entre dos números reales cualquiera hay infinitos número reales). Existe otro tipo conjunto numérico llamado el conjunto de los números complejos el cual será estudiando más adelante. A continuación, se muestra una representación gráfica de los reales.

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