Conjuntos numéricos
Notación y expresión de conjuntos.
El concepto de conjunto es indefinible, su noción es intuitiva, y se atribuye a toda colección de entes que está bien definida y por tanto se identifican de manera precisa. Para los fines se considera un conjunto numérico como una “agrupación” de entes (números) con ciertas características que permiten identificarlos.
Los conjuntos pueden expresarse al menos de tres maneras diferentes:
1. Por descripción verbal.
2. Por enumeración de lista.
3. A través de notación de construcción de conjuntos.
Ejemplo 1. tres maneras de expresar un conjunto.
1. El conjunto de las vocales del Español
2. \(A=\left\{a,e,\ i,o,u\right\}\)
3. \(A=\{x|x ~{\rm es ~una ~vocal ~del ~Español}\}.\)
La expresión \(x|x\) se lee “equis tal que equis”.
Por lo general los conjuntos se representa por una letra mayúscula escribiendo entre llaves sus elementos con minúsculas (enumeración de lista), como en \(A=\left\{a,e,i,o,u\right\}\)
Los conjuntos pueden tener un número limitado de elementos (ser finitos), como el conjunto de los días de la semana o pueden tener un número ilimitado de elementos (ser infinitos), como algunos conjuntos de números que por lo general no tienen final.
Algunos conjuntos finitos pueden ser finitos no contables (tiene un final, pero son imposible de contar) como el conjunto de los granos de arena en una playa. Otros conjuntos como “el conjunto de todos los cuerpos que forman el Cosmos” no pueden ser etiquetados como finitos no contables ya que en realidad no se sabe si tienen final, así que de estos conjuntos se dice que son indeterminados.
Notación de pertenencia.
Sobre un número cualquiera y un conjunto \(A\) se puede decir una de dos cosas:
\(1.~~k\in A\) (\(k\) pertenece a \(A\))
\(2.~~k\notin A\) (\(k\) no pertenece a \(A\))
Por ejemplo, si \(A\) representa al conjunto de los jugadores de un equipo de beisbol, se puede decir que Lebron James no pernece a este equipo, lo cual se escribe Lebron James \(\notin A\), en cambio si se desea escribir que pertenece a los Lakers de Los Angeles \((L)\), se puede escribir Lebron James \(\in L\). En términos de un conjunto númerico si \(A\) representa al conjunto de los números pares, se puede escribir, \(6\in A\), y \(7\notin A\).
Se dice que un conjunto numérico es una "agrupación" de números con ciertas características que permiten identificarlos.
Números naturales \(\mathbb{N}\).
El conjunto de los números naturales \(\mathbb{N}\) es el conjunto formado por los números utilizados para contar o representar el orden de las cosas y es el único conjunto numérico que tiene un comienzo. $$\mathbb{N}=\left\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ \ldots\right\}$$ Se denominan números naturales por ser los números que de manera natural un niño usa para contar. Así se puede indicar que \(13\in\mathbb{N}\) mientras que \(0.5\notin\mathbb{N}\). Con este conjunto es posible realizar adiciones, ordenar y multiplicar cantidades contenidas en él.
Conjunto de los números enteros \(\mathbb{Z}\).
Con los números naturales era imposible representar la inexistencia de algo ¿cómo representar qué no se tiene algo? Mediante el uso del “cero” se pudo resolver este problema, pero había aun un problema ¿cómo representar deudas o pérdidas? Para esto se hizo necesario ampliar el conjunto de los números naturales, así se estableció el uso de “números negativos” los cuales representaban que se debía una cantidad inversa al que el número representaba. Así que los números enteros \(\mathbb{Z}\) son la unión del conjunto de los números naturales, el cero y los inversos de los naturales. No existe un primer número entero, ni un último, de donde se tiene que:
$$\mathbb{Z}=\{\ldots,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,\ldots\}$$
Así se puede indicar que \(100\in\mathbb{Z}\), mientras que \(0.33\notin\mathbb{Z}\).
Aritmética y conjuntos numéricos.
La aritmética (rama de la matemática que estudia los números y las operaciones hechas con ellos) considera dos conjuntos de números, los números primos (enteros \(p\) mayores que uno, cuyos únicos divisores positivos son el uno y el mismo número \(p\)) y los números compuestos, aquellos que poseen divisores distintos de ellos mismo y el uno, los cuales son obtenidos como el producto de dos o más primos. Así, por ejemplo, siete es un número primo, porque los únicos divisores de siete son el número uno y el mismo siete, mientras que quince no lo es, ya que es divisible además de quince y uno, entre cinco y entre tres. Denotando el conjunto de los primos como \(p\) luego el conjunto se escribe,
$$p=\{2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 39,\ 41,\ 43,\ 47,\ 49,\ 51,\ ...\}$$
y el ejemplo anterior adquiere la notación simbólica \(7\in p\land15\notin p\).
Además del conjunto de los números primos y los compuestos en matemáticas se consideran otros tipos de conjuntos numéricos, por ejemplo el conjunto de los números pares (se dice que un número es par si es diviible entre dos), el conjunto de los números impares (los que no son divisibles entre dos) y muchos otros más. Por ejemplo, si \(A\) representa al conjunto de los números pares, se puede escribir, \(6\in A\) (seis pertenece a \(A\)) y \(7\notin A\) (siete no pertenece a \(A\)). Sin embargo, la expresión conjuntos numéricos hace referencia a un pequeño grupo de conjuntos los cuales sirven de referecia para el trabajo aritmetico, con las operaciones básicas sin considerar que sean primos o no, por lo que se continua con dichos conjuntos habiendo estudiado los naturales \(\mathbb{N}\) y los enteros \(\mathbb{Z}\).
Conjunto de los Racionales \(\mathbb{Q}\).
El conjunto de los números racionales \(\mathbb{Q}\) es el conjunto de todos los números que se pueden expresar como el cociente de dos enteros (resultado de una división). Contiene a los enteros \(\mathbb{Z}\) y por tanto, a los naturales \(\mathbb{N}\).
$$\mathbb{Q}=\{\mathbb{Z},n/d\}$$
donde \(d\ne0\) y además \(n\) y \(d\) son coprimos (máximo común divisor igual a uno).
Conjunto de los números irracionales \(\mathbb{Q'}\).
El conjunto de los números irracionales \(\mathbb{Q'}\) (cu prima) es el conjunto de los números que no pueden ser expresados como el cociente de dos enteros.
El número irracional más conocido es el número \(\pi\), además de este, otros dos números irracionales muy conocidos son el número de Euler (número \(e\)) y la famosa razón de oro representada por \(\Phi\) (phi). Dentro de \(\mathbb{Q'}\) están todas las raíces de todos los números primos.
Conjunto de los números reales \(\mathbb{R}\).
El conjunto de los números reales \(\mathbb{R}\) es un "superconjunto" que contiene a todos los conjuntos anteriores mencionados. Se representan geométricamente como una recta en la cual se pueden marcar todos los números conocidos como un punto. Poseen la propiedad de complitud o densidad (entre dos números reales cualquiera hay infinitos número reales). Existe otro tipo conjunto numérico llamado el conjunto de los números complejos el cual será estudiando más adelante. A continuación, se muestra una representación gráfica de los reales.
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Operaciones en los reales.
Con la finalidad del estudio de las matemáticas previas al cálculo y las físicas, se introduce en primer lugar, algunos conceptos fundamentales que el estudiante debe recordar para poder tener una clara comprensión de los apartados posteriores por considerar de suma importancia que el estudiante construya una base aritmética sólida, la cual le permita adentrarse en las demás ramas de las matemáticas a través de un sendero acomodado y no por medio de un camino tedioso.
En aritmética los números representan cantidades conocidas de algo, por ejemplo, al decir cinco naranjas, el número cinco representa la cantidad de naranjas que se tiene, no tiene significado expresar que se tiene o debe cinco, si no se dice la unidad, completar la idea con la unidad resulta de gran importancia para la compresión de la vida y el estudio de las ciencias. Así al hablar de cinco kilómetros, se escribe \(5{\rm k}m\), donde cinco es la cantidad y \({\rm k}m\) es la unidad de longitud.
Aunque pueda parecer simple, un error común que se debe evitar al trabajar en matemáticas es tener resultados erróneos por no tomar en cuenta el orden operacional, esto es por lo que en este apartado se inicia presentando estas simples reglas operacionales, para obtener resultados correctos. Al trabajar con los conjuntos numéricos la aritmética considera siete operaciones fundamentales, adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación. Algunas operaciones de estas son internas, otras no, y al trabajar con operaciones combinadas se requiere de un cierto orden para poder alcanzar un resultado correcto.
Se dice que una operación es interna en un conjunto numérico dado, si al operar dos elementos del conjunto, el resultado también pertenece al conjunto. La división no es interna en los conjuntos \( \mathbb{N},\mathbb{Z}\), y \(\mathbb{R}\). Además, en los reales tampoco es interna la radicación, la logaritmación no es interna en ningún conjunto.
El orden operacional, también llamado jerarquía de las operaciones, son una serie de reglas establecidas por los matemáticos, con el fin de lograr los resultados correctos al trabajar con operaciones combinadas. Dicho orden es como sigue.
1. Operaciones dentro de signos de agrupación o bajo un signo radical.
2. Potenciación o logaritmación.
3. Radicación.
4. División.
5. Multiplicación.
6. Adición o sustracción.
Al definir las operaciones aritméticas en los reales estas heredan las propiedades aritmética de dichas operaciones, donde las únicas restricciones operacionales de \(\mathbb{R}\) son:
1. Dividir entre cero.
2. Raíz par de un \(n|n< 0\) (número negativo).
3. Logaritmo de un \(n|n\le0.\)
Adición y sus propiedades.
Sean \(a,\ b,c,\ \in \mathbb{R}\), si \(a+b=c\) los números \(a\) y \(b\) son llamados sumandos, \(c\) es la suma o total. Bajo la acción de la adición se verifican las propiedades siguientes.
I. Conmutativa: expresa que el orden de los sumandos no altera la suma, esto es,
$$a+b=b+a ({\rm no~ importa~ el~ orden)}$$
II. Asociativa. Expresa que se pueden agrupar los sumandos en la manera que se deseé y la suma o total no se altera, esto es,
$$a+b+c=\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)=b+(c+a)$$
III. Modular o del elemento neutro. Existe un único número (el cero), el cual al ser sumado con cualquier otro número \(\mathbb{R}\), da como resultado el mismo número \(\mathbb{R}\), esto es,
$$n+0=n;\ \ 0+n=n$$
IV. Inverso aditivo. Si \(n_1\in\mathbb{R}\) existe un único número \(n_2\) tal que \(n_1+n_2=0\) (el elemento neutro), entonces se dice que \(n_1\) y \(n_2\) son inversos aditivos uno del otro.
V. Operación inversa. La adicción tiene por operación inversa la resta o sustracción en la cual si \(a-b=r\) el número \(a\) es el minuendo, \(b\) es el sustraendo y \(r\) es la resta o diferencia. La sustracción de dos números \(a\) y \(b\) se define como,
Definición de sustracción.
Una conclusión importante de esta definición es la llamada ley de los signos que presenta la conclusión \(-\left(-a\right)=a\), la demostración es como sigue, \(a+\left(-a\right)=0\) entonces por la propiedad conmutativa \(-a+a=0\), lo cual significa que \(a=-(-a)\).
Multiplicación y propiedades.
La multiplicación es una operación que tiene por objeto dadas dos o más cantidades llamadas factores, hallar otra cantidad llamada producto. Multiplicar es sumar repetida veces una misma cantidad. Sean \(a,b,c,p\in\mathbb{R}\), si \(ab=p\) los números \(a\) y \(b\) son llamados factores, \(p\) es el producto, bajo la operación de multiplicación se verifican las siguientes propiedades:
I. Conmutativa: el orden de los factores no altera el producto, esto es,
$$a\cdot b=b\cdot a {\rm (no ~importa~ el ~orden)}$$
II. Asociativa: se pueden agrupar los factores como se desee y el producto no cambia.
$$a\cdot b\cdot c=\left(b\cdot a\right)\cdot c=\left(a\cdot c\right)\cdot b=a\cdot(b\cdot c)$$
III. Distributiva con respecto de la adición o sustracción: si \(a,b,c\in\mathbb{R}\) entonces
\begin{align}
&3.1~~ a\left(b+c-m+\cdots\right)=ab+ac-am+\cdots\\
&3.2~~ \left(m+n+\cdots\right)\left(a+b-c\cdots\right)=m\left(a+b-c\cdots\right)+n\left(a+b-c\cdots\right)+\cdots\end{align}
IV. Modulativa o elemento neutro: existe un único número (el uno) que al ser multiplicado con un \(n\) cualquiera, da como resultado el mismo número \(n\), esto es,
$$1\cdot n=n\cdot1=n$$
V. Inverso multiplicador o reciproco: existe un único número denotado por \(r\) tal que \(a\cdot r=1\). Al estudiar las operaciones con fracciones se verá que \(r=1/a.\)
VI. Propiedad del elemento absorbente: existe un único número (el cero) tal que al multiplicar un número \(n\) cualquiera por él, el resultado es cero.
$$n\times0=0\times n=0$$
VII. Operación inversa: si \(n\div d=c+r\) el número \(n\) llamado dividendo, el número \(d\) es llamado divisor, \(c\) es el cociente y \(r\) es el residuo. Si \(r=0\) la división es exacta, si \(r\neq0\) la división es entera.
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